第五讲  多项式

多项式的整除概念

1.(一、多项式的整除概念)(本页)
2.(二、最大公因式)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式  五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)

一元多项式

    设 是个文字(也称未定元), 是非负整数, 形如

                                   (I)

的表达式, 其中每个 都是数域 中的数, 称为 上的一个一元多项式. 数域 上的一元多项式全体组成的集合记作 .

    在(I)中, 称为 次项, 称为 次项的系数, 称为常数项. 当 时, 称为首项, 此时 称为多项式(I)的次数. 若以 表示多项式(I), 则 的次数记作 , 即 .

    若多项式 的各次项系数均为零, 则称 是零多项式, 记作 . 规定零多项式的次数为 .

    在多项式 与 中, 如果它们同次项的系数全相等, 则称 与 是相等的, 记作 .

定义1

    设

,    .

称多项式

为 与 的和, 记作 (这里假定 , 且令 )

定义2

    多项式

(其中, 当 时, 令 , 当 时, 令 ) 称为 与 的积, 记作 (, 如定义1).

    定义2实际上是说多项式的乘法可用中学代数中多项式运算的“分配律”与“同类项合并”来进行.

    如果 , 则我们有

即, 可定义 中数与多项式的数量乘法.

    多项式的加法乘法和数量乘法的性质见提示5.1.

    特别要提到的是如下两个性质:

    (1) .
    (2) .

带余除法

定理 1(带余除法)

设 , 且 , 那么存在 , 使得

其中 . 且满足上述条件的多项式 是唯一的.

定义 2

    设 , 如果存在 , 使得

就称 整除 . 记作 . 否则就称   不能整除 , 用 表示.

    当 整除 时, 称 是 的一个因式, 而 为 的倍式.

定理 2

    对于数域 上的任意两个多项式 , 其中 , 的充分必要条件是 除 的余式为零.

    整除的一些基本性质:

    (1) .
    (2) 零次多项式(即非零常数)是任何多项式的因式, 而零次多项式的因式只有零次多项式.
    (3) 若 , , 则 .
    (4) , , 当且仅当存在非零数 , 使得 .
    (5) 如果 , , 那么对 上任意多项式 , 有

例 1 (1) 证明: 如果 , 但 , 则 .
    (2) 问: 若 不整除 , 也不整除 , 能否推出 ?

解 (1) 用反证法. 假如 , 则由假设 及性质5, 得

即 , 矛盾. 故必须 .

    (2) 不一定. 例如: 设 , , , 则 .