第五讲  多项式

最大公因式

1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)(本页)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式  五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)

    如果多项式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 称为 与 的公因式.

定义 3

    设 . 如果 上多项式 满足以下条件:
    (1) 是 与 的公因式;
    (2) 与 的任何公因式都是 的因式,
则称 是 与 的一个最大公因式.

引理

    如果有等式

成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.

    由于在上述引理中, 我们可得到次数比 的次数小的 . 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式 , 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.

定理 3

    数域 上任意两个多项式 与 一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与 的最大公因式是唯一确定的, 且 与 的任意最大公因式 都可以表示成 与 的一个组合, 即有 中的多项式 , 使得

    当 与 不全为零时, 其最大公因式 , 而 与 的任一最大公因式必为 的形式, 其中 为 上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用 来表示. 如果 , 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.

例 2 设

求 , 并把它表示成 , 的一个组合.

解 用辗转相除法:

    第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .
    第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .
    第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .
最后一个不为0的余式是 , 所以

最终得:

定义 4

如果 的最大公因式 , 则称 与 互素.

定理 4

    两个多项式 互素的充分必要条件是存在 , 使得

证明 必要性 如果 与 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得

充分性. 如果 令 是 与 的最大公因式. 于是

从而, . 故 必为零次多项式. 所以 与 互素.

    互素多项式的一些性质

    (1) 若 , 且 , 则 .
    (2) 若 , , 且 , 则

            (提示5.2)

    我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.

定义 5

    设 (). 如果多项式 满足以下两个条件:
    (1) ;
    (2) 的任何公因式都是 的因式. 则称 是 的最大公因式.

    如果 全等于0, 则其最大公因式等于0, 否则, 它们的最大公因式不等于0. 与 的情况一样, 可知它们的任意两个最大公因式只差一个非零常数倍. 我们仍用 表示它们中首项系数为1的最大公因式. 则有

定理 5

该定理告诉我们, 求多个多项式的最大公因式问题最终可归结为求两个多项式的最大公因式问题.

例 3 设 , , . 求

解 利用定理5来计算. 由计算可知

所以, .