第五讲  多项式

多项式的因式分解

1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)
3.(三、多项式的因式分解)(本页)
4.(四、重因式  五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)

多项式的因式分解与系数域 有关. 因此必须明确数域后才能讨论因式分解问题. 在这一节中, 我们取定一个数域 , 讨论 中多项式的因式分解问题.

定义 6

    设 是数域 上次数大于0的多项式. 如果 不能表成两个次数比 低的 上多项式的乘积, 则称 为数域 上的不可约多项式. 否则称 为 上的可约多项式.

     中的多项式可分为四类:

    (1) 零多项式;  (2) 零次多项式;  (3) 不可约多项式;  (4) 可约多项式.

定理 6

    设 是一个不可约多项式, 那么
    (1) 对于任意的 , 有 , 或 .
    (2) 对于任意的 , 若 , 则有 或 .

推论

    设 是不可约的. 若 , 则 必整除某个 .

定理 7 (因式分解定理)

    数域 上每个次数 的多项式都可以唯一地分解成数域 上不可约多项式 () 的乘积. 即

并且若

其中 () 在 上不可约, 则 , 且适当排列 的次序后有

其中 ()是一些非零常数.

    在 的分解式中, 可把每个不可约因式的首项系数提到前面, 使其成为首项系数为1的多项式(简称首一多项式), 再把相同的不可约因式合并, 写成方幂形式

其中 是 的首项系数, 是不同的首一不可约多项式, 是正整数, 称该分解为标准分解式.

    利用多项式的标准分解式, 容易写出两个多项式的最大公因式. 设

其中 , (注意: 这与标准分解式略有不同). 则它们的首一最大公因式为

其中, , .