第五讲  多项式

重因式、多项式的函数

1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式  五、多项式的函数)(本页)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)

四、重因式

定义 7

设 为不可约多项式. 如果 , 而 , 则称 是 的 重因式.

    若 , 则 不是 的因式.
    若 , 则称 是 的单因式.
    若 , 则称 是 的重因式. 

定义 8

    若 , 规定如下的多项式

为 的微商或一阶微商.

    这种规定来自于数学分析, 但这里是一个形式的定义.

    微商的一些性质与数学分析中的性质是一致的, 见提示5.3.

    也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商 的微商称为 的二阶微商, 记为 . 一般地, 的 阶微商定义为 的 阶微商(记为 )的微商: , 记为 .

例 4 设 . 求 的各阶微商.

解 , , , , .

定理 8

    如果不可约多项式 是 的 重因式(), 那么它是 的 重因式.

证明 因为 是 的 重因式, 所以可设

其中 , 则

说明 . 由于 的次数低于 的次数, 故 不能整除 , 而 , 所以 不整除 , 但 . 因此 不能整除 . 这就证明了 是 的 重因式.

推论 1

    如果不可约多项式 是 的 ()重因式, 那么 分别是 的 重因式, 但不是 的因式.

推论 2

    不可约多项式 是 的重因式的充分必要条件是 为 与 的公因式.

推论 3

    多项式 没有重因式的充分必要条件是 .

    是一个没有重因式的且与 具有完全相同的不可约因式的多项式, 这种多项式很有用.

例 5 求 的重因式和标准分解式.

解 , 用辗转相除法, 求得 . 再计算

于是 的标准分解式为

因此, 具有3重因式 和单因式 .

五、多项式的函数

设 , . 在 的表达式中以 代 , 就得到 中的一个数

这个数称为 时 的值, 用 来表示. 这样 就定义了 上的一个函数. 由 中的一个多项式所确定的函数, 称为 上的多项式函数.

定理 9 (余数定理)

    用一次多项式 去除多项式 , 所得的余式是常数 .

定义 9

    设 , . 若 , 那么 就称为 的一个根或零点.

定理 10

    数 是多项式 的根的充分必要条件是 .

    当 是 的 重因式时, 称为 的 重根. 而 时, 称为单根, 时, 称为重根.

定理 11

     中每个 次多项式在 内最多有 个根, 其中 重根按 个计算.

例 6 证明 不能表成 的多项式.

证明 用反证法. 若 能表成 的多项式, 则由定理11, 其根至多有有限多个, 但当 , , , 时都满足 , 即 有无限多个根, 矛盾! 因此, 不能表为 的多项式.

定理 12

    如果 中两个多项式 , 的次数都不超过 , 而它们对 个不同的数 都有相同的值, 即

那么 .

    上述定理表明: 在数域 上, 多项式相等与多项式函数恒等实际上是一致的.