有理数域上的多项式有理数域上的多项式
1.(一、多项式的整除概念)
2.(二、最大公因式)
3.(三、多项式的因式分解)
4.(四、重因式 五、多项式的函数)
5.(六、复与实系数多项式的因式分解)
6.(七、有理数域上的多项式)(本页)
关于有理数域上的多项式, 我们讨论以下两个问题: (1)有理数域上多项式的可约性; (2) 有理数域上多项式的有理根.
定义 10
若一个非零的整系数多项式 
的系数互素, 那么 
就称为一个本原多项式.
高斯引理
两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
利用高斯引理, 可以证明以下定理:
定理 17
如果非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, 那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
由此定理, 我们可把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结为整系数多项式在整数集上是否可约的问题.
下面介绍一个简单易行的判断整系数多项式为不可约的方法.
定理 18 (艾森斯坦因判别法)
设 
是一个整系数多项式, 如果能够找到一个素数 
, 使得
(1) 首项系数 
不能被 
整除;
(2) 其余各项的系数都能被 
整除;
(3) 常数项 
不能被 
整除.
那么 
在有理数域上是不可约的.
例 9 证明
在有理数域上不可约.
证明 
, 
, 
, 
, 
. 取素数 
, 则3不能整除 
, 但 
, 又 
不能整除 
, 由艾森斯坦因判别法, 
在有理数域上不可约.
利用上述定理, 容易证明:
有理数域上存在任意次数的不可约多项式.
事实上, 对任意自然数 
, 取 
就是这样的一个不可约多项式, 其中取素数 
.
定理 19
设 
是一个整系数多项式, 如果它有一个有理根 
, 其中 
是互素的整数, 那么必有 
, 
. 特别地, 如果 
的首项系数 
, 那么 
的有理根都是整根, 而且是 
的因子.
例 10 证明: 
在有理数域上不可约.
证明 因找不到适当的素数 
, 所以不能用艾森斯坦因判别法. 由于 
是3次的, 所以若 
在有理数域上可约, 则它至少有一个1次因式. 即 
至少有1个有理根. 但由定理19, 
的有理根只可能是 
. 但是 
, 
. 所以 
都不是根, 故 
在有理数域上不可约.
例 11 求多项式
的全部有理根.
解 因为 
, 
, 而3的因子有1, -1, 3, -3. -2的因子有: 1, -1, 2, -2. 所以 
的有理根只能是1, -1, 
, 
, 2, -2, 
, 
. 分别计算 
在这些点处的值, 得: 
共有2个有理根: 
与 -2.